Se suele decir que una imagen vale más que mil palabras, y si de lo que estamos hablando es de Geometría creo que con más razón. Si encima podemos jugar libremente con los elementos geométricos para entender mejor las cosas, eso ya no tiene precio.
A estas alturas quizás estarás pensando que ya estoy tardando en sacudirte un applet de Geogebra... ¡pues no! (al menos no hoy), te voy a sacudir un manojo de applets de Cinderella.
¿Y qué tiene Cinderella para ser el elegido en lugar de Geogebra, como Gauss manda? En primer lugar que lo conozcas si no lo has manejado, como era mi caso hasta hace bien poco; en segundo lugar que nos permitirá “ver” dos cosas bastante abstractas: la geometría hiperbólica y la elíptica.
Vamos pues con la primera, dejando la segunda para otra entrada, a ver qué luz puede arrojar nuestra Cenicienta (de la que cuento algunas cosas al final del post).
Primero te voy a contar una historia, y que Euclides me perdone por los gazapos que pueda cometer…
La geometría clásica, la de toda la vida por decirlo así, estaba presente ya en gran medida en la Grecia clásica, pero deslavazada, sin ser recopilada de forma adecuada y sin el rigor deductivo con el que ahora la conocemos. Euclides, en el siglo IV a.C. llevó a cabo la titánica tarea no sólo de recopilar el saber matemático de su tiempo, sino de irlo construyendo de forma totalmente lógica, basándose en unas definiciones sobre las que razonar y en axiomas y postulados, que vienen a ser unas afirmaciones aceptadas de entrada, y que creo que todos podríamos considerar como de Perogrullo, cosas tales como: “Dados dos puntos, se puede trazar una y sólo una recta que los une”.
El quinto y último postulado, el conocido como postulado de las paralelas, se puede formular así:
“Dada una recta y un punto exterior a ella, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la dada que pase por dicho punto”
Evidentemente… ¿no? Pero este postulado ya al mismo Euclides le mosqueba, en el sentido de que lo creía demostrable a partir de los otros, así que ¿por qué incluirlo en la lista de los postulados que “debemos creernos”? Si nos creemos los demás, este tendríamos que aceptarlo ya a la fuerza.
El caso es que muchos intentaron, pero nadie consiguió hacer esa demostración que Euclides no consiguió hacer…. ni nadie lo hará.
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| Lobachevski y Bolyai |
Ya en el siglo XIX hubo matemáticos que, intentando demostrarlo por reducción al absurdo (negándolo e intentando llegar a una concusión absurda, por lo que debe ser cierto), no sólo no llegaron a absurdo ninguno… sino que llegaron a modelos de geometría plenamente consistentes.
Raros como ellos solos… pero consistentes, modelos geométricos con pleno sentido, los cuales para poder entenderlos tenemos que olvidarnos de cosas tales como que un segmento no pueda ser curvo. ¿Que cómo es eso de que un segmento pueda ser curvo? No hablamos de un segmento euclídeo, es decir, no de lo que comúnmente se entiende como un segmento, sino como el "camino más corto entre dos puntos" según una cierta métrica, una cierta forma de medir distancias distinta a la habitual.
