El problema de Regiomontano

La Época Heroica de la matemática griega es una etapa en la matemática de la antigua Grecia durante el siglo V a.C. que recibe ese nombre por los increíbles progresos que se realizaron contando con muy pocas herramientas para ello. Algo parecido ocurre con Regiomontano y el problema que es conocido por su nombre.

Regiomantano fue un matemático y astrónomo alemán del siglo XV considerado uno de los fundadores de la trigonometría, que resolvió este problema de una forma realmente ingeniosa, si bien ahora sería un problema sencillo usando algo de cálculo. El problema es el siguiente:

Supongamos que vemos una barra de metal colgada verticalmente desde el techo. ¿A qué distancia de la barra habrá que situarse para verla lo mas grande posible?

En este applet podemos ver un modelo del problema. Puedes mover al observador por el suelo y modificar la longitud de la barra moviendo A y B. También puedes hacer que se muestre una representación (con cambio de origen y escala para verla mejor) del ángulo de observación a lo largo del recorrido del observador.
El problema es equivalente a preguntarnos a qué distancia de la barra el ángulo de observación que abarca la barra es máximo.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Paseos geodésicos

Imagen tomada de deviantart.com

Vamos con la segunda entrada sobre geometrías no euclídeas con Cinderella. En esta entrada hablamos de la geometría hiperbólica de Bolyai y Lobachevski; ahora es el turno de la geometría elíptica de Riemann, que fue un matemático alemán del siglo XIX discípulo de Gauss, cosa esta última suficiente para esperarnos cualquier cosa de él.

Solución al sangaku de Mickey Mouse

Vamos con la solución a este problema de un sangaku planteado en la entrada anterior, por si alguien se ha quedado con la intriga.

Consideremos el segmento BC y el HE paralelo al anterior, de forma que uno de sus extremos coincida con el punto de tangencia E

Sangaku con Mickey Mouse

Según pudimos ver en la entrada anterior Mickey Mouse tiene sus teorías en lo que a aritmética se refiere. Pues resulta que a la geometría tampoco le hace ascos, de hecho parece que quiere aparecer en un sangaku.

Imagen tomada de Wikipedia

Los sankagu son una tablillas que se crearon en Japón en los siglos XVII al XIX, con problemas matemáticos, en la mayoría de los casos geométricos. Cada sangaku contiene unos 10 problemas, con su enunciado, ilustraciones, solución y autor y se colocaban en los templos como ofrenda a los dioses y desafío a los visitantes.

Bolyai, Lobachevski y... ¡Cenicienta!

Se suele decir que una imagen vale más que mil palabras, y si de lo que estamos hablando es de Geometría creo que con más razón. Si encima podemos jugar libremente con los elementos geométricos para entender mejor las cosas, eso ya no tiene precio.

A estas alturas quizás estarás pensando que ya estoy tardando en sacudirte un applet de Geogebra... ¡pues no! (al menos no hoy), te voy a sacudir un manojo de applets de Cinderella.
¿Y qué tiene Cinderella para ser el elegido en lugar de Geogebra, como Gauss manda? En primer lugar que lo conozcas si no lo has manejado, como era mi caso hasta hace bien poco; en segundo lugar que nos permitirá “ver” dos cosas bastante abstractas: la geometría hiperbólica y la elíptica.

Vamos pues con la primera, dejando la segunda para otra entrada, a ver qué luz puede arrojar nuestra Cenicienta (de la que cuento algunas cosas al final del post).

Primero te voy a contar una historia, y que Euclides me perdone por los gazapos que pueda cometer…
La geometría clásica, la de toda la vida por decirlo así, estaba presente ya en gran medida en la Grecia clásica, pero deslavazada, sin ser recopilada de forma adecuada y sin el rigor deductivo con el que ahora la conocemos. Euclides, en el siglo IV a.C. llevó a cabo la titánica tarea no sólo de recopilar el saber matemático de su tiempo, sino de irlo construyendo de forma totalmente lógica, basándose en unas definiciones sobre las que razonar y en axiomas y postulados, que vienen a ser unas afirmaciones aceptadas de entrada, y que creo que todos podríamos considerar como de Perogrullo, cosas tales como: “Dados dos puntos, se puede trazar una y sólo una recta que los une”.

El quinto y último postulado, el conocido como postulado de las paralelas, se puede formular así:

“Dada una recta y un punto exterior a ella, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la dada que pase por dicho punto”

Evidentemente… ¿no? Pero este postulado ya al mismo Euclides le mosqueba, en el sentido de que lo creía demostrable a partir de los otros, así que ¿por qué incluirlo en la lista de los postulados que “debemos creernos”? Si nos creemos los demás, este tendríamos que aceptarlo ya a la fuerza. El caso es que muchos intentaron, pero nadie consiguió hacer esa demostración que Euclides no consiguió hacer…. ni nadie lo hará.

Lobachevski y Bolyai

Ya en el siglo XIX hubo matemáticos que, intentando demostrarlo por reducción al absurdo (negándolo e intentando llegar a una concusión absurda, por lo que debe ser cierto), no sólo no llegaron a absurdo ninguno… sino que llegaron a modelos de geometría plenamente consistentes.

Raros como ellos solos… pero consistentes, modelos geométricos con pleno sentido, los cuales para poder entenderlos tenemos que olvidarnos de cosas tales como que un segmento no pueda ser curvo. ¿Que cómo es eso de que un segmento pueda ser curvo? No hablamos de un segmento euclídeo, es decir, no de lo que comúnmente se entiende como un segmento, sino como el "camino más corto entre dos puntos" según una cierta métrica, una cierta forma de medir distancias distinta a la habitual.