viernes, 23 de marzo de 2012

Bolyai, Lobachevski y... ¡Cenicienta!

Se suele decir que una imagen vale más que mil palabras, y si de lo que estamos hablando es de Geometría creo que con más razón. Si encima podemos jugar libremente con los elementos geométricos para entender mejor las cosas, eso ya no tiene precio.

A estas alturas quizás estarás pensando que ya estoy tardando en sacudirte un applet de Geogebra... ¡pues no! (al menos no hoy), te voy a sacudir un manojo de applets de Cinderella.
¿Y qué tiene Cinderella para ser el elegido en lugar de Geogebra, como Gauss manda? En primer lugar que lo conozcas si no lo has manejado, como era mi caso hasta hace bien poco; en segundo lugar que nos permitirá “ver” dos cosas bastante abstractas: la geometría hiperbólica y la elíptica.

Vamos pues con la primera, dejando la segunda para otra entrada, a ver qué luz puede arrojar nuestra Cenicienta (de la que cuento algunas cosas al final del post).

Primero te voy a contar una historia, y que Euclides me perdone por los gazapos que pueda cometer…
La geometría clásica, la de toda la vida por decirlo así, estaba presente ya en gran medida en la Grecia clásica, pero deslavazada, sin ser recopilada de forma adecuada y sin el rigor deductivo con el que ahora la conocemos. Euclides, en el siglo IV a.C. llevó a cabo la titánica tarea no sólo de recopilar el saber matemático de su tiempo, sino de irlo construyendo de forma totalmente lógica, basándose en unas definiciones sobre las que razonar y en axiomas y postulados, que vienen a ser unas afirmaciones aceptadas de entrada, y que creo que todos podríamos considerar como de Perogrullo, cosas tales como: “Dados dos puntos, se puede trazar una y sólo una recta que los une”.

El quinto y último postulado, el conocido como postulado de las paralelas, se puede formular así:

“Dada una recta y un punto exterior a ella, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la dada que pase por dicho punto”

Evidentemente… ¿no? Pero este postulado ya al mismo Euclides le mosqueba, en el sentido de que lo creía demostrable a partir de los otros, así que ¿por qué incluirlo en la lista de los postulados que “debemos creernos”? Si nos creemos los demás, este tendríamos que aceptarlo ya a la fuerza. El caso es que muchos intentaron, pero nadie consiguió hacer esa demostración que Euclides no consiguió hacer…. ni nadie lo hará.

Lobachevski y Bolyai
Ya en el siglo XIX hubo matemáticos que, intentando demostrarlo por reducción al absurdo (negándolo e intentando llegar a una concusión absurda, por lo que debe ser cierto), no sólo no llegaron a absurdo ninguno… sino que llegaron a modelos de geometría plenamente consistentes.
Raros como ellos solos… pero consistentes, modelos geométricos con pleno sentido, los cuales para poder entenderlos tenemos que olvidarnos de cosas tales como que un segmento no pueda ser curvo. ¿Que cómo es eso de que un segmento pueda ser curvo? No hablamos de un segmento euclídeo, es decir, no de lo que comúnmente se entiende como un segmento, sino como el "camino más corto entre dos puntos" según una cierta métrica, una cierta forma de medir distancias distinta a la habitual.



Vamos a intentar asomarnos, que ya es mucho, a una de estas geometrías, con la inestimable ayuda de Cinderella. Se trata de una geometría “creada” por dos matemáticos casi al unísono, János Bolyai y Nicolái Lobachevski, y que resulta de sustituir el quinto postulado de Euclides, el de las paralelas, por este otro:

“Por un punto exterior a una recta pasan al menos dos paralelas”

Casi nada… A partir de aquí pudieron construir su nueva geometría como Euclides hizo en su tiempo, y la criatura se llamó geometría hiperbólica. ¿Cómo ”verla”? Pues una de las mejores formas es utilizando un modelo conocido como el disco de Poincaré (otro gran matemático de los siglos XIX-XX), en el que las líneas rectas de la geometría hiperbólica vienen representadas por arcos de circunferencia que cortan el borde del círculo plano en ángulo recto.

Comprueba en este applet cómo serían estas rectas y cómo se cumple el “nuevo” quinto postulado, de hecho por cada punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas. Puedes modificar la posición de dos puntos A y B y las rectas que pasan por ellos.

habilite Java para una constructión intereactiva (con Cinderella).

Podemos comprobar la característica fundamental de la métrica que define este modelo: se cumple que todo objeto, conforme se acerca al borde del disco, va reduciendo su tamaño (si lo vemos desde fuera del disco); de esta forma es imposible que se salga del disco. Compruébalo en el siguiente applet moviendo el centro del círculo y modificando su diámetro.

habilite Java para una constructión intereactiva (con Cinderella).

El genial artista E.C. Escher, utilizó este modelo para obras como el grabado en madera Ángeles y Demonios, donde puedes ver como cada ángel o demonio va siendo más pequeño al acercarse al borde del disco.


No queda ahí la cosa... dentro de esta geometría, para cualquier triángulo se cumple que la suma de sus ángulos es siempre inferior a 180º. De hecho cada ángel o demonio del grabado anterior viene a ser un pentágono. A trastear se ha dicho; por supuesto de trata de un triángulos equiláteros (ya sabes, si acercamos un lado al borde del disco, va disminuyendo de tamaño visto desde fuera). Puedes mover A y B para mirar qué ocurre con los ángulos, y de paso te puede ayudar a entender la idea del grabado de Escher.

habilite Java para una constructión intereactiva (con Cinderella).




Fuentes y reseñas:
Una nueva manera de ver el mundo, de María Isabel Binimelis Bassa.
Geometría euclideana, Wikipedia
Geometría hiperbólica, Wikipedia.
Cinderella es un estupendo programa de geometría dinámica. Es de pago, pero su versión gratuita incluye un gran número de funcionalidades. Todo lo expuesto aquí está hecho con la versión gratuita.
GeometríaDinámica.cl, sería injusto no incluir una reseña de este excelente blog, por el que conocí el potencial de Cinderella.

Con esta entrada Matebits participa en la edición 3.14 del Carnaval de Matemáticas, que se celebra en el blog Hablando de Ciencia

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