Solución al sangaku de Mickey Mouse

Vamos con la solución a este problema de un sangaku planteado en la entrada anterior, por si alguien se ha quedado con la intriga.

Consideremos el segmento BC y el HE paralelo al anterior, de forma que uno de sus extremos coincida con el punto de tangencia E

BC y HC son segmentos paralelos y forman el mismo ángulo con los radios paralelos a y c, así que BC=HC

Luego por Pitágoras (triángulo amarillo): $BC^2=d^2+(b-c)^2$ (1)

Llamemos $\alpha$ al ángulo $\angle{BAC}$

Por el teorema del coseno (triángulo violeta): $BC^2=(a+b)^2+(a+c)^2+2(a+b)(a+c)cos\alpha$

Desarrollando esta expresión: $BC^2=a^2+2ab+b^2+a^2+2ac+c^2+2(a+b)(a+c)cos\alpha$ (2)

Igualando (1) y (2) y restando $(b-c)^2$ en ambos miembros se tiene: 

$d^2=a^2+2ab+a^2+2ac+2bc+2(a+b)(a+c)cos\alpha$

$d^2=2(a+b)(a+c)+2(a+b)(a+c)cos\alpha=2(a+b)(a+c)(1+cos\alpha)$

Ahora, aplicando el teorema del coseno en el triángulo rojo tenemos que :

$x^2=a^2+a^2+2a^2cos\alpha=2a^2(1+cos\alpha)$ , luego $1+cos\alpha=\frac{x^2}{2a^2}$

Y sustituyendo en la expresión anterior $d^2=\frac{2(a+b)(a+c)x^2}{2a^2}$ de donde se obtiene:

$$x^2=\frac{a^2d^2}{(a+b)(a+c)}$$