Ecuaciones juguetonas

En el gran blog Gaussianos tenemos esta entrada http://gaussianos.com/de-carita-sonriente-a-senor-con-bigote-con-mathematica/ en la que se nos muestra cómo a partir de una única ecuación dependiente de un parámetro, al ir cambiando su gráfica de forma al variar dicho parámetro lo mismo es una cara sonriente, que un señor con bigote, que un sorprendido señor con gafas; se propone en uno de los comentarios ver la gráfica con animaciones según va cambiando el parámetro usando SAGE, software del que no tenía ni idea de su existencia, por cierto. El resultado es estupendo.

El caso es que desde que la vi pensé que era perfecta para ser tratada con Geogebra… aquí la tenemos (he preferido mostrar cada término de la ecuación por separado, el único que varía es el azul). Pulsa en el botón de animación para ver cómo cambia según varía b.


Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Q*bert... ¿estás ahí?

Sí, este es el pensamiento que se me vino a la cabeza hace poco. Te cuento.

Q*bert fue un gran juego de las máquinas recreativas en los años 80, aunque yo a decir verdad lo jugué en su versión para el ordenador ZX-Spectrum 48K (sí... ya tengo algunos veranos) para el que se llamaba Pogo.

Bolyai, Lobachevski y... ¡Cenicienta!

Se suele decir que una imagen vale más que mil palabras, y si de lo que estamos hablando es de Geometría creo que con más razón. Si encima podemos jugar libremente con los elementos geométricos para entender mejor las cosas, eso ya no tiene precio.

A estas alturas quizás estarás pensando que ya estoy tardando en sacudirte un applet de Geogebra... ¡pues no! (al menos no hoy), te voy a sacudir un manojo de applets de Cinderella.
¿Y qué tiene Cinderella para ser el elegido en lugar de Geogebra, como Gauss manda? En primer lugar que lo conozcas si no lo has manejado, como era mi caso hasta hace bien poco; en segundo lugar que nos permitirá “ver” dos cosas bastante abstractas: la geometría hiperbólica y la elíptica.

Vamos pues con la primera, dejando la segunda para otra entrada, a ver qué luz puede arrojar nuestra Cenicienta (de la que cuento algunas cosas al final del post).

Primero te voy a contar una historia, y que Euclides me perdone por los gazapos que pueda cometer…
La geometría clásica, la de toda la vida por decirlo así, estaba presente ya en gran medida en la Grecia clásica, pero deslavazada, sin ser recopilada de forma adecuada y sin el rigor deductivo con el que ahora la conocemos. Euclides, en el siglo IV a.C. llevó a cabo la titánica tarea no sólo de recopilar el saber matemático de su tiempo, sino de irlo construyendo de forma totalmente lógica, basándose en unas definiciones sobre las que razonar y en axiomas y postulados, que vienen a ser unas afirmaciones aceptadas de entrada, y que creo que todos podríamos considerar como de Perogrullo, cosas tales como: “Dados dos puntos, se puede trazar una y sólo una recta que los une”.

El quinto y último postulado, el conocido como postulado de las paralelas, se puede formular así:

“Dada una recta y un punto exterior a ella, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la dada que pase por dicho punto”

Evidentemente… ¿no? Pero este postulado ya al mismo Euclides le mosqueba, en el sentido de que lo creía demostrable a partir de los otros, así que ¿por qué incluirlo en la lista de los postulados que “debemos creernos”? Si nos creemos los demás, este tendríamos que aceptarlo ya a la fuerza. El caso es que muchos intentaron, pero nadie consiguió hacer esa demostración que Euclides no consiguió hacer…. ni nadie lo hará.

Lobachevski y Bolyai

Ya en el siglo XIX hubo matemáticos que, intentando demostrarlo por reducción al absurdo (negándolo e intentando llegar a una concusión absurda, por lo que debe ser cierto), no sólo no llegaron a absurdo ninguno… sino que llegaron a modelos de geometría plenamente consistentes.

Raros como ellos solos… pero consistentes, modelos geométricos con pleno sentido, los cuales para poder entenderlos tenemos que olvidarnos de cosas tales como que un segmento no pueda ser curvo. ¿Que cómo es eso de que un segmento pueda ser curvo? No hablamos de un segmento euclídeo, es decir, no de lo que comúnmente se entiende como un segmento, sino como el "camino más corto entre dos puntos" según una cierta métrica, una cierta forma de medir distancias distinta a la habitual.

Apuesta masiva

Hace poco, hablando con amigos de quinielas escuché algo parecido a lo siguiente: “La semana pasada hubo en la quiniela 25 acertantes de 15, y era bien rara (Real Madrid y Barcelona perdiendo y tal…) lo mismo hay una misma persona que ha echado 20 veces la misma columna… se habrá hinchado."

Vale, el comentario está apañado... pero venía a expresar algo asi. Vamos a pensar la cuestión, que es sencilla pero no evidente.