viernes, 18 de mayo de 2012

El problema de Regiomontano, otro enfoque

Regiomontano como protagonista
de una novela infantil



En esta entrada se presentó el problema de Regiomontano, así como una forma de resolverlo más o menos sencilla, usando cálculo (te aconsejo que leas el enunciado del problema antes de seguir si no lo conoces). Sin embargo no fue esta la herramienta que pudo usar Regiomantano en el siglo XV, así que veamos otro enfoque, en este caso de lo más ingenioso.









Como existe una única circunferencia que pasa por tres puntos dados, consideremos la que pasa por los dos extremos de la barra y por el observador. Esta circunferencia, en principio, será secante al suelo y lo cortará en dos puntos.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Si jugueteas con el applet moviendo al observador por el suelo, verás que el ángulo con que se abarca la totalidad de la barra parece ser máximo cuando la circunferencia es tangente al suelo, siendo el punto de tangencia el correspondiente al observador ¿Será esto verdad? Observemos este otro applet:

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Puedes ver cómo cualquier ángulo correspondiente al observador, entre los dos puntos de corte de la circunferencia con el suelo, nos da un  ángulo mayor que para dichos dos puntos (para los que será igual, ya que abarcan la misma cuerda de la circunferencia); esto ocurre por tratarse siempre de un ángulo interior a la circunferencia, por lo que será mayor que los correspondientes a los dos puntos de corte.

Por lo tanto, al estar situado el observador en un  punto de corte de la circunferencia con el suelo, el ángulo será máximo cuando este observador esté situado en un ángulo que sea interior de la circunferencia, esto es, cuando esté situado en el punto de tangencia de la circunferencia con el suelo.


En esta situación, ya es fácil obtener a qué distancia está situado el observador de la vertical de la barra:

Usando el teorema de Pitágoras podemos hallar x, ya que es la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales son radios de la circunferencia. 

$$x^2={\bigg(h+\frac{l}{2}\bigg)}^2-\bigg({\frac{l}{2}}\bigg)^2=h^2+hl+\bigg({\frac{l}{2}}\bigg)^2-\bigg({\frac{l}{2}}\bigg)^2=h(l+h)$$
Por lo que ya tenemos la distancia buscada $x=\sqrt{h(l+h)}$. 


Para mí, una resolución de las que "hacen afición".

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